Chap3 解析函数的积分表示

复变函数的积分

我们约定以下提到的曲线(包括简单曲线)都是光滑或逐段光滑的

定义：设\(C\)是平面上一条有向曲线，其起点是\(z_0\)，终点是\(Z\)，\(f(z)\)是定义在\(C\)上的单值函数，任意用一列分点 \[ z_k = x_k + iy_k \] 把曲线分为\(n\)个小段，在每个小段上任取点\(\zeta_k\)作和 \[ \sum_{k = 1}^{n} f(\zeta_k)\Delta z_k \] 记\(\lambda = max_k |\Delta z_k|\)，如果当\(\lambda\rightarrow 0\)时，上述和的极限存在，而且其值与弧段的分法和各\(\zeta_k\)的取法无关，就称这个极限为\(f(z)\)沿曲线\(C\)自\(z_0\)到\(Z\)的积分，记作 \[ \int_{C} f(z)dz \] 定理：设\(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)在曲线\(C\)上连续，则复积分\(\int_{C} f(z)dz\)存在，而且 \[ \mathop{\int}_{C}f(z)dz = \mathop{\int}_{C}u(x,y)dx - v(x,y)dy + i\mathop{\int}_{C}v(x,y)dx + u(x,y)dy \] 从前述的C-R方程和现在的积分法则可以看出，\(u(x,y)dx\)和\(v(x,y)dy\)相关，\(v(x,y)dx\)和\(u(x,y)dy\)相关。这是因为 \[ \begin{align*} f(z)dz &=(u(x,y) + iv(x,y))(\Delta x + i\Delta y) \\ &= (u(x,y)\Delta x - v(x,y)\Delta y) + i(u(x,y)\Delta y + v(x,y)\Delta x) \end{align*} \] 同理求导运算时也应满足C-R方程，这是相关的

一些曲线积分的基本性质对复积分仍然成立：

• 如果\(k\)为复常数，则

\[ \mathop{\int}_{C}kf(z)dz = k\mathop{\int}_{C}f(z)dz \]

• \(\int_{C}[f(z) + g(z)]dz = \int_C f(z)dz + \int_{C}g(z)dz\)
• \(\int_{C}f(z)dz = -\int_{C^-}f(z)dz\)
• 如果曲线\(C\)由\(C_1\)和\(C_2\)组成，则：

\[ \mathop{\int}_{C}f(z)dz = \mathop{\int}_{C_1} f(z)dz + \mathop{\int}_{C_2}f(z)dz \]

长大不等式

在复变函数的许多论证和计算中，常要用到下面不等式的积分估计.设\(f(z)\)在曲线\(C\)上连续，则： \[ |\mathop{\int}_{C}f(z)dz\;| \leq \mathop{\int}_{C}|\;f(z)\;|\,ds \] 特别地，若在曲线\(C\)上有\(|f(z)| \leq M\)，曲线\(C\)的长为\(l\)，则上式有： \[ |\mathop{\int}_{C}f(z)dz\;| \leq Ml \] 该式即为长大不等式

柯西积分定理

复变函数中积分与积分的路径有关，那么何时积分与路径无关？柯西积分定理就解决了该问题

今后把简单闭曲线叫做闭路，如非特别声明，凡沿闭路积分都是按正向(逆时针方向)取的

定理(柯西积分定理)：设\(D\)是由闭路\(C\)所围成的单连通区域，\(f(z)\)在闭域\(\bar{D} = C + D\)上解析，则 \[ \mathop{\int}_{C}f(z)dz = 0 \] 这里，所谓\(f(z)\)在闭域\(\bar{D}\)上解析，是指存在区域\(G\)，使得\(\bar{D} \subset G\)，且\(f(z)\)在\(G\)内解析

推论1：设\(f(z)\)在单连通域\(D\)内解析，\(C\)是\(D\)内的任意封闭曲线，则 \[ \mathop{\int}_{C}f(z)dz = 0 \] 推论2：设\(f(z)\)在单连通域\(D\)内解析，\(C\)是\(D\)内任一条起于点\(z_0\)而终于点\(z\)的简单曲线，则积分 \[ \mathop{\int}_{C}f(\zeta)d\zeta \] 的值不依赖于积分路径\(C\)，而只由\(z_0\)和\(z\)确定.所以这个积分也可记作 \[ \int_{z_0}^{z}f(\zeta)d\zeta \] 定理：(多连通区域的柯西积分定理) 设\(f(z)\)在复闭路\(C=C_0 + C_1^- + C_2^- + ... + C_n^-\)及其所围成的多连通区域内解析，则 \[ \mathop{\int}_{C}f(z)dz = \mathop{\int}_{C_1}f(z)dz + \mathop{\int}_{C_2}f(z)dz + ... + \mathop{\int}_{C_n}f(z)dz \] 或 \[ \mathop{\int}_{C}f(z)dz = 0 \]

柯西积分公式

定理1：设函数\(f(z)\)在闭路(或复闭路)\(C\)及其所围区域\(D\)内解析，则对\(D\)内任意一点\(z\)，有 \[ f(z) = \frac{1}{2\pi i}\mathop{\int}_{C}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta \] 定理2：在定理1的条件下，对于区域\(D\)内的任一点\(z\)，\(f(z)\)有任意阶导数，且 \[ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\mathop{\int}_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n + 1}}d\zeta \] 这个公式也叫柯西积分公式

原函数

定义：如果在区域\(D\)内有\(F'(z) = f(z)\)，则\(F(z)\)称为\(f(z)\)在区域\(D\)内的一个原函数

定理1：设\(f(z)\)在单连通区域\(D\)内连续，且对\(D\)内任意闭路\(C\)，有\(\int_{C}f(z)dz = 0\). 那么，由变上限的积分所确定的函数 \[ F(z) = \int_{z_0}^{z}f(z)dz \] (\(z_0\)是\(D\)内一定点)是\(D\)内的解析函数，而且 \[ F'(z) = f(z)\;\;(z \in D) \] 推论1：设\(f(z)\)在单连通区域\(D\)内解析，则定理1的结论成立

推论2：在推论1的条件下，对\(f(z)\)的任一原函数\(H(z)\)，有牛顿-莱布尼茨公式 \[ F(z) = \int_{z_0}^{z}f(z)dz = H(z) - H(z_0) \] 定理2：(Morera定理)在定理1的条件下，\(f(z)\)是\(D\)内的解析函数.

解析函数与调和函数的关系

定义：如果实二次函数\(u(x,y)\)在区域\(D\)内有二阶连续偏导数，且在\(D\)内满足拉普拉斯(Laplace)方程 \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \] 则称\(u(x,y)\)是域\(D\)内的调和函数.

定理1：设\(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)在域\(D\)内解析，那么它的实部\(u\)及虚部\(v\)都是\(D\)内的调和函数

定理2：设\(f(z) = u + iv\)是一解析函数，且\(f'(z) \neq 0\)，那么等值曲线簇 \[ u(x,y) = K_1 \] 与 \[ v(x,y) = K_2 \] 在其公共点上永远是互相正交的，这里\(K_1\)和\(K_2\)为常数

定理3：设\(u(x,y)\)是单连通区域\(D\)内的调和函数，则由曲线积分所确定的函数 \[ v(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} - \frac{\partial u}{\partial y}dx + \frac{\partial u}{\partial x}dy + C \] 使得\(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)在\(D\)内解析，其中，\((x,y)\)是\(D\)内任一点，\((x_0,y_0)\)是\(D\)内一定点，\(C\)是实常数