Chap2 复变数函数

复变数函数

定义：设\(E\)是复平面上的一个点集，若对于\(E\)中每一个点\(z\)，按一定规律有一个复数\(w\)与之对应，则称在\(E\)上定义了一个复单值函数，记作\(w = f(z)\; (z \in E)\)；如果对于自变量\(z\)的一个值，按规律对应的\(w\)不止一个，则称\(w = f(z)\)为多值函数

定义：设\(w = f(z)\)，是集合\(E\)上的单值函数，如果对于\(E\)中的任意两个不同点\(z_1\)和\(z_2\)，它们在(函数值)集合\(E'\)中对应的点\(w_1 = f(z_1)\)及\(w_2 = f(z_2)\)，则称\(w = f(z)\)是集\(E\)中的一个一一映射.

函数的极限与连续性

定义：设函数\(w = f(z)\)在点\(z_0\)的某个去心邻域\(0 < |z - z_0| < \rho\)内有定义，而且实极限： \[ \mathop{lim}_{z\rightarrow z_0}\;|\;f(z) - w_0\;| = 0 \] 就称当\(z\)趋于\(z_0\)时 \(f(z)\) 的极限值为 \(w_0\) ，记作 \[ \mathop{lim}_{z\rightarrow z_0}\,f(z) = w_0 \] 这个定义在几何上意味着：当变点进入\(z_0\)的一个充分小的\(\delta\)邻域hi时，它们的像点就落入一个\(w_0\)的一个给定的\(\epsilon\)邻域

定义：如果等式 \[ \mathop{lim}_{z\rightarrow z_0}\,f(z) = f(z_0) \] 成立，就称函数\(f(z)\)在点\(z_0\)连续.如果\(f(z)\)在区域\(D\)中的每个点都连续，就称\(f(z)\)在区域\(D\)中连续

定理：函数\(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)在点\(z_0 = x_0 + iy_0\)处连续的充要条件时\(u(x,y)\)和\(v(x,y)\)作为二元函数在\((x_0,y_0)\)处连续

导数和解析函数

复变函数的导数的概念从形式上看与实变函数的导数概念完全相同

定义：设\(w = f(z)\)在点\(z\)的某个邻域\(U\)内有定义，\(z \,+\, \Delta z \in U\).如果极限 \[ \mathop{lim}_{\Delta z \rightarrow 0}\;\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} \] 存在，就称函数\(f(z)\)在点\(z\)可微，而且这个极限称为\(f(z)\)在点\(z\)的导数或微商，记为\(f'(z)\)，\(\frac{df}{dz}\)或\(\frac{dw}{dz}\)，即： \[ f'(z) = \mathop{lim}_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} \] 设\(f(z)\)在点\(z\)可微： \[ a = \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} - f'(z) \] 则有： \[ \mathop{lim}_{\Delta z\rightarrow 0} a = 0 \] 定义：如果\(f(z)\)在区域\(D\)内的每一点可微，则称\(f(z)\)在\(D\)内解析，或者说\(f(z)\)是\(D\)内的解析函数；如果\(f(z)\)在点\(z_0\)的某一邻域内可微，则称\(f(z)\)在点\(z_0\)解析；如果\(f(z)\)在点\(z_0\)不解析，则\(z_0\)称为\(f(z)\)的奇点

由定义可见，函数的解析性概念是和一个区域联系在一起的.即使是说到\(f(z)\)在点\(z_0\)解析，也是指它在\(z_0\)的某个邻域内解析，由于区域是开集，所以函数在区域内解析和函数在区域内每一点解析的说法是等价的.解析函数是复变函数中一类加了很强条件的函数，它有许多完美的性质.

复变函数的求导法则与实变函数相同

柯西-黎曼方程

定理：函数\(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)在点\(z = x + iy\)可微的充要条件是：

1. 二元函数\(u(x,y),v(x,y)\)在点\((x,y)\)可微
2. \(u(x,y)\)及\(v(x,y)\)在点\((x,y)\)满足柯西-黎曼方程(简称C-R方程)

\[ \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{\partial v}{\partial x} \end{align*} \]

定理：函数\(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)在区域\(D\)内可微(即在\(D\)内解析)的充要条件：

1. 二元函数\(u(x,y)\)及\(v(x,y)\)在\(D\)内可微
2. \(u(x,y)\)及\(v(x,y)\)在\(D\)内处处满足C-R方程

求导数的时候可直接用： \[ \begin{align*} f'(z) &= \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \end{align*} \]